Добірка задач

1.                     У циліндр вписано паралелепіпед зі стороною основи а. Діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом  α і утворює кут β з бічною гранню, яка проходить через сторону а. Знайти бічну поверхню циліндра.

2.                     В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом β. Діагональ грані, що містить протилежний до даного кута катет, нахилена до площини основи під кутом α. Визначити бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму.

3.                     Основою прямої призми є ромб з гострим кутом α. Діагональ бічної грані призми дорівнює ι  і утворює з площиною основи кут β. Визначити бічну поверхню циліндра вписаного в дану призму.

4.                     В основі піраміди лежить прямокутник, площа якого дорівнює S кут між діагоналями дорівнює α. Всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом β. Визначити об’єм конуса, описаного навколо цієї піраміди.

5.                     Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з бічною стороною б і кутом β при основі. Всі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють  γ. Визначити бічну поверхню конуса, вписаного в дану піраміду.

6.                     У кулю з радіусом R вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з меншою бічною гранню кут α. Діагональ основи паралелепіпеда утворює з більшою стороною кут β. Визначити виміри паралелепіпеда.

7.                     В основі піраміди лежить трикутник з кутами α і β і площею S. Всі бічні ребра піраміди утворюють з її висотою кут ψ. Визначити поверхню сфери, описаної навколо піраміди.

8.                     У правильній трикутній піраміді висота дорівнює Н, а бічні грані нахилені до площини основи під кутом α. Визначити об’єм кулі, вписаної в дану піраміду.

9.                     Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом β. Визначити об’єм конуса, якщо радіус описаної навколо нього кулі дорівнює R.

10.                 Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом α. Визначити об’єм конуса, якщо радіус вписаної в нього кулі дорівнює r.

11.                У правильну чотирикутну піраміду, сторона якої а і двогранний кут при основі α, вписано циліндр. Знайти об’єм циліндра, якщо висота циліндра дорівнює радіусу основи.

 12.                 У циліндр, бічна поверхня якого дорівнює S, вписана правильна п'ятикутна  піраміда так, що її основа вписана в основу циліндра, а вершина лежить в площині другої основи циліндра. Обчислити об’єм піраміді, знаючи, що її бічні грані нахилені до основ під кутом α.

13.                Навколо правильної чотирикутної призми описано сферу. Радіус сфери, проведений до вершини призми, утворює з її бічним ребром кут γ. Визначити поверхню сфери, якщо бічне ребро призми дорівнює а.

14.                В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом β при вершині. Всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом  γ. Визначити об’єм піраміди, якщо радіус описаної навколо неї кулі дорівнює R.

15.                Знайти радіус сфери, описаної навколо прямої призми, висота якої дорівнює с, а основою є прямокутний трикутник з катетами  а і в.

16.                У піраміду, основою якої є рівнобічна трапеція з тупим кутом β, вписано конус. Всі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють γ. Відстань від основи висоти піраміди до вершини даного кута трапеції дорівнює α. Визначити бічну поверхню конуса.

17.                 Апофема правильної шестикутної піраміди дорівнює а, а двогранний кут при стороні основи дорівнює α. Знайти об’єм і бічну поверхню вписаного конуса.

18.                 У правильну трикутну призму вписано циліндр, а в циліндр вписана правильна трикутна призма. Знайти відношення об’ємів призм.

19.                У правильній чотирикутній піраміді відстань від середини висоти піраміди до бічної грані дорівнює d. Визначити радіус основи і твірну вписаного в піраміду конуса, якщо його твірна нахилена до площини основи під кутом α.

20.                 Основою піраміди є квадрат зі стороною а, дві бічні грані піраміди перпендикулярні до основи, а дві інші нахилені до основи під кутом α. У піраміду вписують прямокутні паралелепіпеди так, що чотири вершини кожного з них лежать на бічних ребрах піраміди, а чотири – на її основі. Який з цих паралелепіпедів має найбільший об’єм? Знайти його.

21.                В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при вершині. Дві рівні бічні грані піраміди перпендикулярні площині його основи, а третя бічна грань утворює з нею кут ψ. Визначити висоту піраміди, якщо радіус писаної в неї кулі дорівнює r.