Методичний посібник
Комбінації геометричних тіл
Можливі типи комбінацій:
1. Многогранник і многогранник. (Призма, вписана в піраміду, або піраміда, вписана в призму, та інші.)
2. Многогранник і тіло обертання. (Піраміда, вписана в конус, або конус, вписаний в піраміду; циліндр, вписаний в піраміду, або піраміда, вписана в циліндр, та інші; куля, вписана в піраміду, або піраміда, вписана в кулю; призма, вписана в кулю, або куля, вписана в призму, та інші.)
3. Тіло обертання і тіло обертання. (Куля, вписана або описана навколо циліндра, конуса, та інші.) 
Циліндром, вписаним в призму, називається циліндр, основи якого — круги, вписані в основи призми, а бічна поверхня циліндра дотикається бічних граней призми. Радіус циліндра — г.
Вісь циліндра співпадає з висотою призми — Н. 
Циліндр називається описаним навколо призми, якщо його основи — круги, описані навколо основ призми, а твірні збігаються з ребрами призми. Радіус циліндра — R.
Вісь циліндра співпадає з висотою призми — H.
Конусом, вписаним в піраміду, називається конус, основа якого — круг, вписаний у многокутник основи піраміди, вершина співпадає з вершиною піраміди, бічна поверхня конуса дотикається бічних граней піраміди.
r – радіус конуса; Н - висота піраміди і конуса.
Конус називається описаним навколо піраміди, якщо його основа — круг, описаний навколо піраміди, верши¬на співпадає з вершиною піраміди, а твірні збігаються з ребрами піраміди.
Висоти конуса і піраміди збігаються на основі єдиності прямої, перпендикулярної до площини і проведеної че¬рез точку, яка не лежить у даній площині. Радіус вписаного в основу піраміди кола (круга) пер¬пендикулярний стороні многокутника, який лежить в ос-нові піраміди, і є проекцією твірної конуса на площину основи. 
R – радіус конуса; Н - висота піраміди і конуса.
Куля називається вписаною в многогранник, якщо всі грані многогранника дотикаються до кулі. Многогранник у цьому випадку називається описаним навколо кулі (сфери).
Центр кулі, вписаної у многогранник, рівновіддалений від всіх його граней. Він є точкою перетину півплощин, проведених через ребра двогранних кутів, утворених двома суміжними гранями, які поділяють цей кут навпіл. Відстань від центра кулі до граней — його радіус. 
Куля називається описаною навколо многогранника, якщо всі вершини многогранника лежать на поверхні кулі (сфери).
В цьому випадку многогранник називають вписаним в кулю.
Центр кулі, описаної навколо многогранника, рівновіддалений від всіх його вершин, тобто є точкою перетину площин, проведених через середини ребер многогранника (призми, піраміди) перпендикулярно до них. Відстань від центра кулі до вершини многогранника — його радіус.
Кулю можна описати навколо призми, тільки якщо вона пряма і її основа є прямокутником, вписаним в коло. Центр кулі, описаної навколо прямої призми, лежить на середині висоти призми, яка з'єднує центри кіл, описаних навколо основ призми. 
O – центр кулі; R – радіус кулі; O1O2 – висота призми;
r – радіус кола, описаного навколо основи призми
Кулю можна вписати в пряму призму, якщо її основи є многокутниками, описаними навколо кола, а висота призми дорівнює діаметру кулі і діаметру цього кола. Центр кулі, вписаної в пряму призму, лежить на середині відрізка, який з'єднує центри кіл, вписаних в основи призми. Причому, радіус кулі дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми, а діаметр кулі дорівнює висоті призми. 
O – центр кулі; R – радіус кулі; O1O2 – висота призми і діаметр кулі;
r – радіус кола, вписаного в основу призми; R=r=H/2.
Примітка. Кулю можна вписати і в деякі похилі призми. Якщо розглянути перпендикулярний переріз призми, який проходить через центр вписаної кулі, то одержимо те, що радіус кулі, вписаної в похилу призму, дорівнює радіусу кола, вписаного в перпендикулярний переріз призми, а діаметр кулі дорівнює висоті призми.
Якщо в многогранник можна вписати сферу, то об'єм многогранника дорівнює одній третій добутку площі повної поверхні многогранника на радіус вписаної сфери.
V=1/3⋅r⋅Sповн.многогр
A0B0C0 – перпендикулярний переріз
(A0B0C0) ┴ AA1,
то rвпис. кулі = rкола, вписаного в перп. переріз А0В0С0
dвпис. кулі = Нпризми
Куля називається описаною навколо піраміди, якщо всі вершини піраміди лежать на поверхні кулі.
O – центр описаної кулі;
AO1= BO1= CO1= SO1=Rопис. кулі
Центр кулі, описаної навколо довільної піраміди, лежить на прямій, перпендикулярній площини основи, яка проходить через центр кола, описаного навколо основи, в точці перетину цієї прямої з площиною, яка перпендикулярна до бічного ребра і проходить через його середину.
O – центр кола, описаного навколо основи,
ОО1┴ (АВС);
М – середина SA, α┴SA (M належить α);
α перетинає ОО1 в точці О1;
О1 – центр описаної кулі. 
Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, описаного навколо основи, то центр описаної кулі лежить на прямій, яка містить висоту піраміди в точці перетину цієї прямої з серединним перпендикуляром до бічного ребра
SO – висота піраміди, О – центр кола,
описаного навколо основи піраміди,
М – середина ребра SA,
MO1┴SA; MO1∩SA в точці О1;
О1- центр описаної кулі, SO1=Rкулі; АО = rкола, описаного
навколо основи піраміди. 
Примітка. Центр описаної кулі може знаходитись в середині піраміди (на висоті, рис. 1); поза пірамідою (на продовжені висоти, рис. 2); в площині основи піраміди (співпадає з основою висоти піраміди, рис. 3). 
рис.1 рис.2 рис.3 Якщо центр описаної кулі лежить на висоті піраміди (або на її продов¬женні), то при розв'язуванні деяких задач можна користуватися таким прийомом: продовжити висоту піраміди до перетину з кулею в точці S1 і з'єднати точку S1 з точкою А. Тоді SS1 —діаметр кулі і кут SAS1 = 90° як вписаний кут, який спирається на діаметр. 
Куля називається вписаною в піраміду, якщо всі грані піраміди дотикаються до кулі.
O1 – центр кулі;
К – точка дотику
з гранню SDC
O1K = rрадіус кулі,
O1K ┴ (SDC) 
Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу, то центр вписаної кулі лежить на висоті піраміди, в точці перетину висоти з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при основі піраміди. (Вважають, що площина лінійного кута проходить через висоту піраміди.)
SO – висота піраміди,
О – центр кола, описаного навколо основи піраміди, М – середина ребра SA, MO1┴SA; MO1∩SA в точці О1; О1- центр описаної кулі, SO1=Rкулі; АО = rкола, описаного навколо основи піраміди. 
Примітка. Центр кулі, вписаної в піраміду, лежить в точці перетину бісекторних площин двогранних кутів при ребрах піраміди.
Бісекторною площиною двогранного кута називається площина, яка проходить через ребро двогранного кута і поділяє цей кут навпіл.
O1 – центр вписаної кулі;
(BCO1) – бісекторна площина
двогранного кута при ребрі ВС.
О1К┴(АВСD);
О1К – радіус вписаної кулі 
Куля називається вписаною в циліндр (конус), якщо основи (основа) і всі твірні, які утворюють циліндр (конус), дотикаються кулі. Такий циліндр (конус) називається описаним навколо кулі. 
Кулю можна вписати тільки в такий циліндр, висота якого дорівнює діаметру основи (такий циліндр називають рівностороннім). Куля дотикається основ циліндра в їх центрах і бічної поверхні циліндра по більшому колу кулі, паралельному основам циліндра. Діаметр кулі дорівнює висоті циліндра.
R – радіус вписаної кулі;
r – радіус циліндра;
H – висота циліндра;
R = r, 2R=H 
Кулю можна вписати в будь-який конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу, що лежить в площині, паралельній основі конуса. Центр вписаної кулі лежить на осі конуса і співпадає з центром кола, вписаного в трикутник, який є осьовим перерізом конуса. 
R – радіус вписаної кулі; r – радіус конуса;
H – висота конуса;
R/(H-R)=r/√(H^2-r^2 )
Куля називається описаною навколо циліндра, якщо основи циліндра є паралельними перерізами кулі (рис. 1).
Куля називається описаною навколо конуса, якщо основа конуса є перерізом кулі, а вершина конуса лежить на поверхні кулі (сфери) (рис. 2).
Такі циліндр і конус називаються вписаними в кулю (сферу). 
Кулю можна описати навколо будь-якого (прямого, кругового) циліндра. Кола основ циліндра лежать на поверхні кулі.
Центр описаної кулі лежить на середині висоти циліндра, яка проходить через вісь циліндра.
ABCD – осьовий переріз циліндра;
R – радіус описаної кулі;
r – радіус циліндра;
H – висота циліндра;
R^2=(H/2)^2+r^2
Кулю можна описати навколо будь-якого конуса.
Коло основи конуса і вершина конуса лежать на поверхні кулі.
Центр описаної кулі лежить на осі конуса і співпадає з центром кола, описаного навколо трикутника, який є осьовим перерізом конуса.
∆MAB – осьовий переріз конуса; R – радіус описаної кулі;
r – радіус конуса; H – висота конуса;
R^2=(Н-R)^2+r^2
|
